🐍 Limit X Mendekati Tak Hingga Bentuk Akar

mendekatitak hingga limit sin x x dengan x mendekati 0 limit, soal limit fungsi dan pembahasannya 6 limit aljabar tak hingga bentuk akar nilai limit dari adalah pembahasan soal limit fungsi perhatikan bahwa bentuk limit tersebut adalah bentuk limit untuk a p maka diperoleh hasilnya yaitu dengan Bentuklimit tak hingga akar pangkat 3 yang akan kita bahas yaitu yang bentuknya sebagai berikut: lim x → ∞ ( a x 3 + b x 2 + c x + d 3 − a x 3 + p x 2 + q x + r 3) Jika kita substitusi akan diperoleh ∞ − ∞ (bentuk tak tentu). Tentu saja penyelesaiannya bukan itu. Kita tidak bisa menghilangkan bentuk akar dengan cara kali sekawan Teksvideo. Disini kita memiliki soal limit tak hingga nah konsep yang akan kita gunakan di sini adalah apabila kita memiliki limit x menuju tak hingga dari akar x kuadrat ditambah b x tambah C kurangnya dengan akar x kuadrat + QX + r dan syarat yang pertama adalah apabila a = p maka hasil limitnya bisa kita dapatkan yaitu = B dikurangi q dibagi 2 akar a. Darigrafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan tidak sama untuk x mendekati 2 modifikasikan hingga jika disubstitusikan tidak menjadi bentuk tak tentu, 2x jika diubah bentuk akar akan menjadi √4x2 Rumus trik cepat mengerjakan limit tak hingga yang ke 2 dapat digunakan untuk contoh soal limit tak hingga bentuk akar yang di mana HaiLaila, kakak coba bantu jawab ya! Jadi, nilai dari lim (x→∞) √x+ √ ( (x)+1)-√x = ∞. Berikut penjelasannya. Soal ini menggunakan konsep limit tak hingga bentuk akar, kita bisa selesaikan dengan cara subtitusi biasa untuk soal ini lim (x→∞) √x+ √ ( (x)+1)-√x {√x- √x=0} = lim (x→∞) √ ( (x)+1) substitusi nilai x Suatulimit hasilnya tak hingga ( ∞) jika hasil limitnya semakin membesar menuju tak hingga, bisanya terjadi ketika pembaginya adalah 0 ( 1 0 = ∞ ). X 2 7 kalo diturunkan jadinya 2x 0 atau 2x saja. 11+ Contoh Soal Limit Nol Kumpulan Contoh Soal Tentukan lim x → ∞x2. Limit tak hingga akar. Kaliini soal mengarahkan kita ke bentuk akar pangkat tiga. Dalam kasus ini kita misalkan. maka dan y 3 = x + 4. akibatnya x = y 3 - 4. karena x —> 4 maka y —> 2. Dengan demikian soal limit menjadi . Beberapa artikel yang berkaitan dengan limit. antara mendekati nol dan tak hingga limit aljabar limit bentuk akar limit bilangan natural Penyelesaian: a). Karena (artinya mendekati 5 dari kanan, sehingga nilai positif. b). c). Penyelesaian Limit di Tak Hingga. Untuk menyelesaikan limit menuju tak hingga ( ), kita gunakan limit dasarnya yaitu : dengan bilangan real dan bilangan asli. Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara : Soaldan pembahasan limit tak hingga bentuk akar 1 3 posted june 19 2013 february 18 2020 rudolph lestrange berikut adalah 3 buah soal limit tak hingga yang jika disubtitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu. Limit x mendekati tak hingga x x 2 4x 2 brainly co id. Limit Tak Hingga Akar Pangkat 3 Dalam . Rumus trik cepat mengerjakan limit BejYH. Matematika Dasar » Limit Fungsi › Limit Tak Hingga - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan Limit Dengan konsep limit tak hingga, kita dapat mengetahui kecenderungan suatu fungsi jika nilai peubahnya bertambah besar tanpa batas atau \x\ menuju tak hingga, \x → ∞\. Oleh Tju Ji Long Statistisi Hub. WA 0812-5632-4552 Pada artikel sebelumnya kita telah belajar mengenai definisi limit dan limit fungsi aljabar. Pada artikel tersebut kita hanya mempelajari limit di mana nilai \x\ mendekati suatu bilangan yang berhingga baik positif maupun negatif. Misalnya, \ \lim_\limits{x\to 2} fx \ atau lebih umumnya \ \lim_\limits{x\to c} fx \ di mana \c\ suatu bilangan yang berhingga. Namun, tak jarang kita akan menjumpai limit di mana nilai \x\ mendekati tak hingga yakni \ \lim_\limits{x\to\infty} fx \. Dengan konsep limit tak hingga ini, kita dapat mengetahui kecenderungan suatu fungsi jika nilai variabel atau peubahnya dibuat semakin besar atau bertambah besar tanpa batas atau \x\ menuju tak hingga, dinotasikan dengan \ x \to \infty \. Misalkan terdapat fungsi \ fx = \frac{1}{x^2} \. Bayangkan apa yang terjadi dengan fungsi \fx\ jika \x\ bertambah semakin besar? Untuk menjawab ini, amati nilai fungsi \fx\ untuk nilai-nilai \x\ berikut. Dari ilustrasi di atas dapat kita lihat bahwa fungsi \fx\ semakin mendekati nol ketika \x\ semakin besar. Grafik dari fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 1 di bawah. Gambar 1. Kurva \ y = 1/x^2 \ Dari Gambar 1 terlihat bahwa kurva \ y = \frac{1}{x^2} \ semakin mendekati garis \y = 0\ ketika \x\ semakin besar. Secara intuitif, kita simpulkan bahwa jika \x\ semakin besar tanpa batas maka nilai \ 1/x^2 \ semakin dekat ke nol. Dalam notasi limit, pernyataan ini ditulis Dengan demikian, kita peroleh sifat berikut ini. Sifat A Jika \n > 0\ dan \n\ bilangan rasional, maka Tentu saja, untuk mengetahui nilai suatu fungsi \fx\ ketika \x\ bertambah besar dengan mengambil beberapa nilai dan menghitung nilai fungsi tersebut lalu menggambarkannya pada grafik, bukan cara yang efisien. Dalam beberapa kasus, hal tersebut sulit atau bahkan tak dapat dilakukan. Sebagai contoh, perhatikan limit-limit berikut. Bagaimanakah bentuk grafik pada kedua limit di atas? Tentu saja, cukup sulit untuk mendapatkan grafik fungsi tersebut. Oleh karena itu, kita perlu cara lain untuk mengetahui kecenderungan nilai fungsi tersebut ketika \x\ bertambah besar. Sebenarnya, kita dapat gunakan cara substitusi langsung, jika hasil yang diperoleh bukan dalam bentuk tak tentu 0/0, \ ∞/∞ \, \ ∞-∞ \, dan bentuk tak tentu lainnya. Namun, jika hasil yang diperoleh adalah bentuk tak tentu maka kita gunakan metode lain. Contoh 1 Hitung \ \lim_\limits{x \to \infty } \, \left x^{3}-7x^{2} \right \. Pembahasan Jika kita gunakan metode substitusi langsung untuk menyelesaikan limit ini, maka akan diperoleh bentuk tak tentu \ \infty - \infty \. Namun, kita masih dapat gunakan metode substitusi langsung dengan terlebih dahulu mengubah fungsi dalam limitnya supaya tidak berbentuk tak tentu ketika nilai variabelnya disubstitusikan ke fungsi dalam limit. Perhatikan berikut ini. Perhatikan bahwa pada Contoh 1 kita menggunakan substitusi langsung karena hasil yang diberikan bukan dalam bentuk tak tentu. Karena kita tidak selalu dapat menggunakan metode substitusi, maka kita akan mempelajari metode lain untuk mencari limit tak hingga. Terdapat dua metode yang akan kita pelajari yakni metode membagi dengan pangkat tertinggi dan metode mengalikan bentuk sekawan. Metode Pembagian dengan Pangkat Tertinggi Metode ini diterapkan pada limit dengan fungsi berbentuk \ \lim_\limits{x\to∞} \frac{fx}{gx} \. Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi fungsi pada pembilang \fx\ dan fungsi pada penyebut \gx\ dengan peubah \x^n\ berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi \fx\ dan \gx\. Lalu, lakukan penyederhanaan fungsi pada limit dan setelah itu baru disubstitusi dengan \ x \to ∞ \. Perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh 2 Tentukan nilai dari \ \displaystyle \lim_\limits{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}} \. Pembahasan Perhatikan fungsi yang ada dalam limit. Variabel dengan pangkat tertinggi dari pembilang adalah \x^3\. Begitu pula dengan penyebutnya. Jadi, variabel dengan pangkat tertinggi antara pembilang dan penyebutnya adalah \x^3\. Selanjutnya, bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi yang telah diperoleh, yaitu \x^3\, kemudian hitung limit dari masing-masing suku dengan berpedoman pada sifat A yang telah kita bahas sebelumnya. Jadi, kita peroleh nilai limit sama dengan 1/3. Contoh 3 Hitung nilai dari \ \displaystyle \lim_\limits{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1} \. Pembahasan Perhatikan bahwa variabel dengan pangkat tertinggi dalam soal ini yaitu \x^4\. Jadi, bagi pembilang dan penyebut dari fungsi limitnya dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu \x^4\, kemudian hitung limitnya. Jadi, kita peroleh nilai limit sama dengan 0. Contoh 4 Hitung nilai dari \ \displaystyle \lim_\limits{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4} \. Pembahasan Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari pembilang, yaitu \x^3\, kemudian hitung limitnya. Jadi, kita peroleh nilai limit sama dengan \ -\infty \. Catatan Perhatikan bahwa di sini kita bisa melakukan pembagian dengan nol, karena kita sedang berbicara tentang limit, sehingga nilai nol yang dimaksud di sini tidak mutlak nol, melainkan 'mendekati nol'. Jadi, maksud dari -1/0 di atas adalah -1 dibagi dengan angka yang amat sangat kecil yang mendekati nol misalnya 0,00000000000001 sehingga diperoleh jawaban \-\infty\. Jika kita sedang tidak berbicara tentang limit, maka kita tahu pembagian dengan nol adalah tidak terdefinisi. Terdapat sifat yang berguna terkait metode pembagian dengan pangkat tertinggi ini. Kita cantumkan sebagai berikut. Sifat B Jika \px\ dan \qx\ adalah fungsi polinom dengan \ax^m\ dan \bx^n\ berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari \px\ dan \qx\, maka Sifat di atas mengatakan bahwa nilai limit tak hingga untuk fungsi polinom ataupun rasional sama dengan nilai limit dari suku pangkat tertingginya. Dengan menggunakan sifat di atas, contoh 1 dan 2 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut. Berdasarkan pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya, sifat B poin 3 dapat kita jabarkan lagi menjadi sebagai berikut. Sifat C Misalkan \px\ dan \qx\ adalah fungsi polinom dengan \ax^m\ dan \bx^n\ berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari \px\ dan \qx\, maka Jika \m = n \, maka Jika \m n \, maka Sifat di atas dapat kita terjemahkan dalam tiga poin berikut. Jika pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut. Jika pangkat tertinggi pembilang pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = ∞ asalkan perbandingan koefisiennya positif atau -∞ asalkan perbandingan koefisiennya negatif Dengan menggunakan sifat C; Contoh 2, 3, dan 4 dapat diselesaikan cukup dengan memperhatikan suku pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut, dalam hal ini adalah pangkat dan koefisiennya. Dalam Contoh 2, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut sehingga berdasarkan Sifat C poin 1, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut, yaitu 1/3. Pada Contoh 3, pangkat tertinggi pembilang pangkat tertinggi penyebut dan perbandingan koefisiennya negatif sehingga berdasarkan Sifat C poin 3, nilai limitnya = -∞. Metode Perkalian dengan Bentuk Sekawan Metode ini diterapkan pada limit yang berbentuk \ \lim_\limits{x\to∞} fx-gx \. Untuk menyelesaikan limit dengan bentuk demikian, kita mengalikan dengan bentuk sekawannya. Perhatikan contoh berikut. Contoh 5 Tentukan nilai dari \ \lim_\limits{x \to \infty } \left 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right \. Pembahasan Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu. Perhatikan bahwa jika \x \rightarrow \infty\ maka \2x\rightarrow \infty\ dan \\sqrt{4x^{2}+x}\rightarrow \infty\. Akibatnya, Dengan demikian, kita tidak dapat gunakan metode substitusi. Kita gunakan metode perkalian dengan bentuk sekawan, yakni Contoh 6 Hitunglah nilai dari \ \lim_\limits{x \to -\infty }\left \sqrt{x^{2}-2x}\;-4x \right \. Pembahasan Jangan terburu-buru mengalikan bentuk diatas dengan akar sekawannya. Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu. Jika \x\rightarrow -\infty\ maka \\sqrt{x^{2}-2x}\rightarrow \infty\ dan \4x\rightarrow -\infty\. Akibatnya, Karena cara substitusi di atas tidak menghasilkan bentuk tak tentu, maka kita tidak perlu menggunakan metode perkalian akar sekawan. Dengan demikian, Contoh 7 Tentukan nilai dari \ \lim_\limits{x \to \infty } \sqrt{1 + x} - \sqrt{x} \. Pembahasan Dengan cara substitusi langsung akan diperoleh bentuk tak tentu \ \infty-\infty \ sehingga kita gunakan metode perkalian akar sekawan. Berikut hasil yang diperoleh Terdapat teorema yang penting terkait dengan perkalian bentuk sekawan yang perlu Anda ketahui. Kita cantumkan sebagai berikut. Teorema Jika \a = p\ dan \a, p ≠ 0\ maka Bukti a Untuk \a = p\, bentuk pada poin a teorema di atas dapat diubah menjadi Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh Bukti b Untuk \a = p\, bentuk pada poin b teorema di atas dapat diubah menjadi Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh Perlu kita ingat bahwa untuk \x → -∞\ maka \ \sqrt{x^2} = -x \. Akibatnya, hasil yang kita peroleh di atas menjadi Contoh 8 Hitung limit berikut dengan menggunakan teorema yang telah diberikan di atas. Pembahasan Kita akan menghitung limit dari suku konstan secara terpisah dan hitung limit dari suku lainnya menggunakan teorema yang diberikan di atas, dengan terlebih dahulu menyatakannya dalam bentuk akar. Teorema-teorema untuk Limit Tak Hingga Untuk limit limit tak hingga, terdapat beberapa teorema yang perlu diperhatikan. Jika \n\ adalah bilangan bulat, \k\ konstanta, fungsi \f\ dan fungsi \g\ adalah fungsi-fungsi yang memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka Contoh-contoh Soal Berikut ini kita akan membahas lebih banyak contoh soal terkait limit tak hingga. Contoh 9 Untuk n bilangan asli dan \a_0 ≠ 0\, tunjukkan bahwa Pembahasan Contoh 10 Hitunglah limit berikut. Pembahasan Misalkan \ u = \frac{1}{x} \, maka \ x = \frac{1}{u} \. Jika \ x \to \infty \, maka \ u \to 0 \. Akibatnya, Misalkan \ u = \frac{1}{x} \, maka \ x = \frac{1}{u} \. Jika \ x \to \infty \, maka \ u \to 0 \. Akibatnya, Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih. Kelas 11 SMALimit FungsiLimit Fungsi Aljabar di Titik TertentuLimit Fungsi Aljabar di Titik TertentuLimit FungsiKALKULUSMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0048Nilai lim x->4 4x^2+5x+1=0232Nilai limit x->0 4x/1-2x^1/2-1+2x^1/2=.... 0138Jika fx=x^2-8x+8^1/3, maka nilai dari lim x->0 1/4...0150Nilai lim x->2 x^2-4/akarx^2+5-3=...Teks videoDi sini ada pertanyaan tentang limit x menuju tak hingga bentuk akar kurang akar sehingga bentuk X yang disini kita Tuliskan menjadi X ^ 22 kemudian diakarkan sama saja nilainya 3 bentuk ini kita Tuliskan nggak jadi limit x menuju tak hingga akar ini kita operasikan ya x + a x + B menjadi x kuadrat ditambah di sini ada aku disini ada BX kita tarik keluar berarti menjadi X dikali a. + b kemudian ditambah dengan a b dikurangi dengan akar x kuadrat bentuk ini kita akan kalikan dengan akar sekawannya limit x menuju tak hingga Jadi kalau ada bentuk akar A min akar B kita kalikan dengan kawannya menjadi akar a plusper akar a + akar B menjadi bentuk A min b per akar a + akar b maka bentuk ini kita ke akarnya menjadi x kuadrat ditambah x * a + b ditambah a b dikurangi x kuadrat per 2 x akar x kuadrat + x * a + b ditambah dengan ditambah dengan akar x kuadrat Ini sama ini kita coret sehingga bentuk ini sudah bentuk pecahan kita kalikan dengan bentuk 1 per dari pangkat paling tinggi nya disini Budi penyebutnya pangkat paling tinggi nya adalah x ^ 2 diakarkan jadi ini adalah seperx kuadrat per akar x kuadrat sama saja dengan seperti sini kita kalikan masuk menjadi limit x menuju tak hingga ini nih sama habis tinggal a + b ditambah berarti ini AB per x nya Nikita kali masuk ya Jadi kalau ada akar x berakar sama saja akar x per y ini kali masuk sehingga kini semuanya dibagi x kuadrat maka bentuknya kita Tuliskan menjadi x kuadrat / x kuadrat berarti 1 ditambah X dibagi x kuadrat berarti a + b x kemudian ada bentuk AB x kuadratditambah dengan 1 akar x + akar x kuadrat per akar 1 maka kita masuk nilai x nya jika kita mendapat 1 per tak hingga nilainya adalah sama dengan nol sehingga bentuknya kalau kita masukkan tak hingganya batik adalah a + b AB per tak hingga per tak hingga berarti 0 per akar 1 + AB hingga hingga batin 0 jika ditambah akar 1 maka ini a + b per √ 11 + 1 a + b per 2 maka pilihan kita adalah yang c sampai jumpa di pertanyaan berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Penyelesaian Limit Tak Hingga. Limit tak hingga ini maksudnya bisa hasil limitnya adalah tak hingga $ \infty $ atau limit dimana variabelnya menuju tak hingga $ x \to \infty $. Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi "Pengertian Limit Fungsi" dan "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar". Khusus pada limit tak hingga pada artikel ini kita akan lebih menitik beratkan pada fungsi aljabar saja. Untuk limit tak hingga fungsi trigonometri akan kita bahas pada artikel lain secara khusus dan lebih mendalam. Hasil Limitnya Tak hingga Suatu limit hasilnya tak hingga $\infty$ jika hasil limitnya semakin membesar menuju tak hingga, bisanya terjadi ketika pembaginya adalah 0 $ \frac{1}{0} = \infty $ . Berikut teorinya $ \displaystyle \lim_{x \to \, +0 } \frac{1}{x^n} = + \infty \, $ dan $ \, \displaystyle \lim_{x \to \, -0 } \frac{1}{x^n} = \left\{ \begin{array}{cc} +\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ genap} \\ -\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ ganjil} \end{array} \right. $ dengan $ n \, $ bilangan asli. Catatan Jika pangkatnya genap $n \, $ genap maka hasilnya selalu positif. Contoh 1. Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{x-2^2} \, $ ? Penyelesaian *. Berikut grafik dari fungsi $ fx = \frac{1}{x-2^2} $ Dari tabel terlihat bahwa untuk $ x \, $ mendekati 2, maka hasil fungsinya nilai $y $ semakin besar menuju tak hingga. Jadi, hasil dari $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{x-2^2} = \infty $ 2. Tentukan nilai limit bentuk berikut a. $ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{x-5^5} \, \, \, $ b. $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{x-3^8} \, \, \, $ c. $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{x-3^7} $ Penyelesaian a. Karena $ x \to 5^+ \, $ artinya $ x \, $ mendekati 5 dari kanan, sehingga nilai $ x - 5 \, $ positif. $ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{x-5^5} = \frac{5+2}{5^+ - 5^5} = \frac{7}{+0^5} = + \infty $ b. $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{x-3^8} = \frac{3}{3^- - 3^8 } = \frac{3}{-0^8} = \frac{3}{0} = +\infty $ c. $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{x-3^7} =\frac{3}{3^- - 3^7 } = \frac{3}{-0^7} = \frac{3}{-0} = -\infty $ Penyelesaian Limit di Tak Hingga Untuk menyelesaikan limit menuju tak hingga $ x \to \infty $ , kita gunakan limit dasarnya yaitu $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{a}{x^n} = 0 $ dengan $ a \, $ bilangan real dan $ n \, $ bilangan asli. Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara i. Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya merasionalkan. ii. Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi. Contoh 3. Tentukan hasil limit di tak hingga berikut a. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $ d. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $ Penyelesaian a. Bagi dengan $ x^3 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya. $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{x^3}}{\frac{5x^3 - 4x + 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{3x^2}{x^3} + \frac{5}{x^3} }{\frac{5x^3 }{x^3} - \frac{ 4x }{x^3} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3} }{5 - \frac{ 4 }{x^2} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \frac{ 2 + \frac{3}{\infty} + \frac{5}{\infty ^3} }{5 - \frac{ 4 }{\infty ^2} + \frac{ 1}{\infty ^3} } \\ & = \frac{ 2 + 0 + 0 }{5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 2 }{5 } \\ \end{align} $ Sehingga hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{ 2 }{5 } $ b. Bagi dengan $ x^8 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya, $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{-2x^2 - 5}{x^8}}{\frac{5x^8 - 4x + 3}{x^8} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{-2}{x^6} - \frac{5}{x^8} }{ 5 - \frac{4}{x^7} + \frac{3}{x^8} } \\ & = \frac{ \frac{-2}{\infty ^6} - \frac{5}{\infty ^8} }{ 5 - \frac{4}{\infty ^7} + \frac{3}{\infty^8} } \\ & = \frac{ 0 - 0 }{ 5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 0 }{ 5 } \\ & = 0 \end{align} $ Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = 0 $ c. Bagi dengan $ x^5 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya, $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{x^5}}{\frac{3x^2 - 4x + 1 }{x^5}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 1 - \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^4} - \frac{1}{x^5} }{ \frac{3}{x^3} - \frac{4}{x^4} + \frac{1}{x^5} } \\ & = \frac{ 1 - \frac{2}{\infty ^2} + \frac{5}{\infty ^4} - \frac{1}{\infty ^5} }{ \frac{3}{\infty ^3} - \frac{4}{\infty ^4} + \frac{1}{\infty ^5} } \\ & = \frac{ 1 - 0 + 0 - 0 }{ 0 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ 0} \\ & = \infty \end{align} $ Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \infty $ d. Bagi dengan $ x \, $ untuk pembilang dan penyebutnya, $\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x + 1}{x}}{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{\frac{9x^2 + 2x - 7}{x^2} } } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{x} - \frac{7}{x^2} } } \\ & = \frac{ 2 + \frac{1}{\infty} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{\infty} - \frac{7}{\infty ^2} } } \\ & = \frac{ 2 + 0 }{ \sqrt{ 9 + 0 - 0 } } \\ & = \frac{ 2 }{ \sqrt{ 9 } } \\ & = \frac{ 2 }{3} \end{align} $ Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \frac{ 2 }{3} $ e. Kali sekawan agar terbentuk pecahan dan bagi $ x $ $ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \times \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 4x^2 +2x-3 - 4x^2 - x + 3 }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3x - 6 }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{ 3x - 6 }{x}}{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} }{\sqrt{x^2}} + \frac{ \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} } \\ & = \frac{ 3 - \frac{6}{\infty} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{\infty} - \frac{3}{\infty ^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{\infty} + \frac{3}{\infty ^2}} } \\ & = \frac{ 3 - 0}{ \sqrt{4 + 0 - 0 } + \sqrt{4 - 0 + 0 } } \\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{4 } + \sqrt{4 } } \\ & = \frac{ 3 }{ 2 + 2 } \\ & = \frac{ 3 }{ 4 } \end{align} $ Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{ 3 }{ 4 } $ Penyelesaian Limit di Tak Hingga Yang lebih praktis Berikut cara menyelesaikan limit di tak hingga yang lebih mudah $\clubsuit $ Limit tak hingga pecahan Misalkan fungsinya $ fx = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ gx = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n m \end{array} \right. $ Catatan Ambil koefisien pangkat tertingginya. $\clubsuit $ Limit tak hingga bentuk akar *. Bentuk pertama, $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2 + bx + c } - \sqrt{ax^2 + px + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $ *. Bentuk kedua, $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^n + bx^\frac{n}{2} + c } - \sqrt{ax^n + px^\frac{n}{2} + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $ Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai $ a \, $ sama pada kedua akar. Contoh 4. Tentukan hasil limit di tak hingga dari soal nomor 3 di atas, a. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $ d. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $ f. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} $ Penyelesaian a. Pangkat tertingginya $ x ^3 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^3 $ , $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{2}{5} $ b. Pangkat tertingginya $ x^8 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^8 \, $, $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{0x^8-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \frac{0}{5} = 0 $ c. Pangkat tertingginya $ x^5 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^5 $ , $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{0x^5 + 3x^2 - 4x + 1 } = \frac{1}{0} = \infty $ d. Pangkat tertingginya $ x \, $ , artinya ambil koefisien $ x $ , $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 } } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ 3x } = \frac{2}{3} $ e. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{2-1}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4} $ f. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{3-5}{2\sqrt{9}} = \frac{-2}{6} = - \frac{1}{3} $ 5. Tentukan hasil limit tak hingga berikut ini, a. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - x + 2 $ b. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } $ c. $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} $ Penyelesaian a. Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar. $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - x + 2 & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{x + 2^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{x^2 + 4x + 4} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-5-4}{2\sqrt{1}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - x + 2 & = \frac{-9}{2} \end{align} $ b. Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar. $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x - 3^2} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2-12x + 9} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-12-1}{2\sqrt{4}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \frac{-13}{4} \end{align} $ c. Misalkan $ y = 5^x , \, $ untuk $ x \, $ menuju tak hingga, maka $ y \, $ juga menuju tak hingga, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^x . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{y . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{25y - 7} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \frac{1}{25} \end{align} $ Silahkan teman-teman juga simak dan pelajari materi limit tak hingga dengan fungsi trigonometri yaitu pada artkel "Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri".Selain itu, ada juga kegunaan dari limit fungsi tak hingga adalah untuk menentukan persamaan asimtot mendatar suatu fungsi.

limit x mendekati tak hingga bentuk akar